Como os números primos mantêm seus dados seguros?

1 O que é criptografia?

A criptografia é o processo de transformar dados em um código secreto que somente o destinatário pretendido pode ler. Por exemplo, quando você envia um e-mail ou faz um pagamento on-line, seus dados são criptografados antes de saírem do dispositivo e, em seguida, descriptografados quando chegam ao destino. Os algoritmos de criptografia usam fórmulas matemáticas e chaves para realizar essa transformação. Uma chave é uma informação que determina como os dados são criptografados e descriptografados. Existem dois tipos de criptografia: simétrica e assimétrica.

2 Criptografia simétrica

A criptografia simétrica usa a mesma chave para criptografia e descriptografia. Isso significa que ambas as partes precisam ter a mesma chave e mantê-la em segredo de qualquer outra pessoa. Por exemplo, se Alice e Bob quiserem se comunicar com segurança, eles precisam concordar com uma chave e usá-la para criptografar e descriptografar suas mensagens. A criptografia simétrica é rápida e eficiente, mas tem uma desvantagem: como Alice e Bob podem trocar a chave sem que ninguém a intercepte?

3 Criptografia assimétrica

A criptografia assimétrica resolve esse problema usando duas chaves diferentes: uma chave pública e uma chave privada. Uma chave pública é uma chave que qualquer pessoa pode ver e usar para criptografar dados, mas não para descriptografá-los. Uma chave privada é uma chave que somente o proprietário pode ver e usar para descriptografar dados, mas não para criptografá-los. Por exemplo, se Alice quiser enviar uma mensagem para Bob, ela pode usar a chave pública de Bob para criptografá-la e, em seguida, Bob pode usar sua chave privada para descriptografá-la. A criptografia assimétrica é mais segura e flexível do que a criptografia simétrica, mas também é mais lenta e complexa.

4 Como os números primos são usados na criptografia assimétrica

RSA é um algoritmo de criptografia assimétrica desenvolvido por Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman. Ele usa números primos para gerar as chaves pública e privada. Para fazer isso, Alice e Bob escolhem dois grandes números primos, p e q, e os multiplicam para obter n. Por exemplo, Alice escolhe p = 17 e q = 23, resultando em n = 391. Alice e Bob então calculam phi, que é o produto de p-1 e q-1. Neste exemplo, Alice calcula phi = (17-1) x (23-1) = 352. Em seguida, cada um escolhe um número chamado e, menor que phi e coprime com ele. Por exemplo, Alice escolhe e = 5. Por fim, calculam d que é o inverso de e modulo phi. Isso significa que d x e dividido por phi tem um restante de 1. Neste exemplo, Alice calcula d = 141. Finalmente, eles usam n e e como sua chave pública e n e d como sua chave privada. Por exemplo, a chave pública de Alice é (391, 5) e sua chave privada é (391, 141).

5 Como a criptografia e a descriptografia funcionam com a RSA

Alice e Bob podem usar suas chaves para criptografar e descriptografar mensagens. Para criptografar uma mensagem, eles usam a chave pública do destinatário e elevam a mensagem ao poder de e modulo n. Para descriptografar uma mensagem, eles usam sua própria chave privada e elevam a mensagem ao poder do módulo d n. Por exemplo, se Alice quiser enviar a mensagem 100 para Bob, ela usará a chave pública de Bob (391, 5) e criptografa a mensagem como 100^5 mod 391 = 234. Quando Bob recebe 234 de Alice, ele usa sua própria chave privada (391, 141) para descriptografá-lo como 234^141 mod 391 = 100.

6 Por que os números primos são difíceis de decifrar

Você pode se perguntar por que o RSA é seguro e quão difícil é quebrar. A resposta está na dificuldade de encontrar os fatores primos de um grande número. Se um invasor souber n, e e a mensagem criptografada, ele poderá tentar encontrar p e q dividindo n por todos os números possíveis até encontrar os fatores primos. No entanto, isso é muito demorado e impraticável, especialmente se n é muito grande e tem centenas de dígitos. Por exemplo, encontrar os fatores primos de 391 é fácil, mas encontrar os fatores primos de um número de 2048 bits, que é comumente usado em RSA, é quase impossível com a tecnologia atual. É por isso que os números primos são tão importantes para manter seus dados seguros: eles facilitam a criptografia e dificultam a descriptografia, a menos que você tenha a chave certa.